jacobian and tangent space

tangent space

切平面

• 曲面方程：$F(x,y,z)$
• 法向量：$\vec{n}=(F_x,F_y,F_z)$
• 切平面： $F_x(x-a)+F_y(y-b)+F_z(z-c)=0$
• 方向导数：曲面方程$z=f(x,y)$在$p$点沿方向$\vec{l}=(cos\phi,sin\phi)$的方向导数： $$\begin{align} \frac{\partial f}{\partial l}&=\frac{\partial f}{\partial x}cos\phi+\frac{\partial f}{\partial y}sin\phi \\ &=(\frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}P{\partial y})(cos\phi,sin\phi) \\ &=Gradient \cdot Direction \end{align}$$ 梯度在单位方向向量上的投影。

切空间

若有m个方程定义在n个变量上： $$F_1(x_1,x_2,\dots,x_n)\\ F_2(x_1,x_2,\dots,x_n) \\ \dots \\ F_m(x_1,x_2,\dots,x_n)$$ 则方程个数表示被限制的维度，也是法空间的维度。空间维度减去法空间维度是切空间维度。把方程在点P的偏导组合成矩阵形式A,则A的零空间是点P的切空间，表示的是与法空间相垂直的切向量$\vec{b}$的线性组合。 $$\begin{bmatrix} \frac{\partial F_1}{\partial x_1} & \frac{\partial F_1}{\partial x_2} &\dots &\frac{\partial F_1}{\partial x_n} \\ \frac{\partial F_2}{\partial x_1} & \frac{\partial F_2}{\partial x_2} &\dots& \frac{\partial F_2}{\partial x_n} \\ \dots &\dots &\dots &\dots \\ \frac{\partial F_m}{\partial x_1} & \frac{\partial F_m}{\partial x_2} &\dots & \frac{\partial F_m}{\partial x_n} \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} b_1 \\b_2\\ \dots \\b_n \end{bmatrix}=0$$

jacobian

雅克比矩阵表示线性近似: $$y(x)\approx y(p)+J\cdot(x-p)$$ 实质是切空间之间基底的线性变换.机器人末端速度与关节速度的关系: $$\dot{X}=J\cdot \dot{q}$$