泛函分析

$I(y)=\int Fdx$

泛函F：函数的函数, 可以使y和y各阶导数的函数
泛函数$I$: 是一个数，一般表示为泛函的积分。

则从优化的角度可以把泛函F看成优化目标，泛函数$I$是最优值。不过通过泛函求出来的不是某一类函数的参数，而是哪种形式的函数能达到最优解。

暂且设$F$是y和y的一阶导的函数: $F(y,y')$. 则路径最短问题可以表示为：

$I=\int Fdx=\int \sqrt{1+y'^2} dx$

一阶欧拉拉格朗日方程

微分$dy=y'$：由x方向微小扰动产生
变分$\delta y$：确定向不同的y之间的差值

令任意函数表示为最优函数和扰动函数的和：$\tilde{y}=y(x)+\epsilon\eta(x)$.若$I$取得极值，则当$\epsilon ->0$, $I$的变化量也是0。这里由$\epsilon$引起的扰动变化标记为$\delta I, \delta y, \delta y'$.

$\begin{align}\delta I &=\int (\frac{\partial F}{\partial y}\delta y+\frac{\partial F}{\partial y'}\delta y')dx \\ &=\int(\frac{\partial F}{\partial y}-\frac{d}{dx}(\frac{\partial F}{\partial y'}))\delta ydx+\frac{\partial F}{\partial y}'\delta y |^{x_2}_{x_1} \\ &=0\\ \text{边界条件:}&\quad\delta y(x_1)=0, \delta y(x_2)=0 \\ \text{欧拉拉格朗日方程(E-L):}& \quad \frac{\partial F}{\partial y}-\frac{d}{dx}(\frac{\partial F}{\partial y'}) =0 \end{align}$

使得泛函数变分为0的有两部分，第二部分可以根据边界条件保证为0。因为各个函数的路径起始点都一样，所以该处的变分为0。第二部分是两个函数的乘积。由于$\delta y=\epsilon \eta$是任意函数，为了保证该积分为0，只能让第一个因子恒为0。

考虑二维平面最短路径问题，$F=\sqrt{1+y'^2}$, 根据欧拉拉格朗日方程:

$\frac{\partial F}{\partial y}=0\\ \frac{\partial F}{\partial y'}=\frac{y'}{\sqrt(1+(y')^2)} \\ \frac{d(\frac{y'}{\sqrt(1+(y')^2)})}{dx}=0 \\ \frac{y'}{\sqrt(1+(y')^2)}=constant=C \\ y'=constant$

所以y是一条直线。

高阶

假如泛函:

$I=\int_{x_{1}}^{x_{2}} F\left(y, y^{\prime}, y^{\prime \prime} ; x\right) d x$

则其一阶变分：

$\begin{align}\delta I &=\int_{x_{1}}^{x_{2}}\left(\frac{\partial F}{\partial y} \delta y+\frac{\partial F}{\partial y^{\prime}} \delta y^{\prime}+\frac{\partial F}{\partial y^{\prime \prime}} \delta y^{\prime \prime}\right) d x\\ &=\int_{x_{1}}^{x_{2}}\left(\frac{\partial F}{\partial y}-\frac{d}{d x}\left(\frac{\partial F}{\partial y^{\prime}}\right)+\frac{d^{2}}{d x^{2}} \frac{\partial F}{\partial y^{\prime \prime}}\right) \delta y d x+ \\ & \quad \quad \left.\frac{\partial F}{\partial y^{\prime \prime}} \delta y^{\prime}\right|_{x_{1}} ^{x_{2}}+\left.\left[\frac{\partial F}{\partial y^{\prime}}-\frac{d}{d x}\left(\frac{\partial F}{\partial y^{\prime \prime}}\right)\right] \delta y\right|_{x_{1}} ^{x_{2}} \\ &=0 \end{align} \\ \quad \\ \mathrm{E}-\mathrm{L}:\quad \Longrightarrow \frac{\partial F}{\partial y}-\frac{d}{d x}\left(\frac{\partial F}{\partial y^{\prime}}\right)+\frac{d^{2}}{d x^{2}} \frac{\partial F}{\partial y^{\prime \prime}}=0 \\ \begin{align}\text {边界条件}:& \\ &\frac{\partial F}{\partial y^{\prime \prime}}=0 \text { (Natural) or } \\ & \delta y^{\prime}=0 \text { (Essential) } ;\\ &\frac{\partial F}{\partial y^{\prime}}-\frac{d}{d x}\left(\frac{\partial F}{\partial y^{\prime \prime}}\right)=0 \text { (Natural) or }\\ &y=0 \text { (Essential) } \end{align}$

泛函分析

带约束

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