differential geometry

几何：与变换无关
群：变换
欧式几何：刚性变换（平移，旋转，反射，...）
仿射几何：一般的线性变换
黎曼几何：与任意变换无关

基本约定

爱因斯坦求和约定：1. 重复两次的指标是求和的哑指标; 2. 出现一次的指标和本次运算没有什么关系; 3. 下标表示协变量，上标表示逆变量

$a_ib_i=\sum_{i=1}^na_i\cdot b_i \\ a_{ij}b_j=\sum_{j=1}^na_{ij}\cdot b_i$

tensor

多维数组：数组的阶数为张量的阶数。向量为一阶，矩阵为二阶。
张量由向量和余向量(covector)通过张量积(tensor product)组合而成
张量是多重线性映射，矢量空间/对偶空间

对于坐标系A，B，坐标基矩阵为$E_A,E_B$, 某一向量在不同坐标系下的表示为$P_A,P_B$.

$\begin{align} E_B&=C\cdot E_A \\ D&=C^{-1} \\ \vec{P_B}&=D\cdot \vec{P_A} \end{align}$

以基变换为基准，变化相同的为协变量(covariant)，相反的为逆变量(contravariant).

$协变量=\left\{\begin{align}\vec e_{Bj}&=\sum_{i=1}^n c_{ij}\vec e_{Ai} \\ \vec e_{Bj}&= c_{ij}\vec e_{Ai} \end{align} \right .$ $逆变量=\left\{\begin{align} P_{B}^i&=\sum_{j=1}^n d_{ij}\vec P_{A}^j \\ P_{B}^i&= d_{ij}\vec P_{A}^j \end{align} \right .$

张量”专题之二

metric

度量张量：黎曼度量实质是二阶张量

选定一坐标系统x,度量张量为二阶张量： $ds^2=\sum_{uv}g_{uv}dx^udx^v$ $ds^2=\sum_{i=1}^m\sum_{j=1}^{m}g_{ij}(u)du_idu_j$ 协变分量,度量系数矩阵： $G=g_{uv}=J^TJ=(\frac{\partial x}{\partial u})^T(\frac{\partial x}{\partial u})$

根据优化任务的不同，可以分别以轨迹弧长和系统动能作为黎曼度量，它们决定了不同的黎曼曲面，曲面上的测地线分别对应于路径最短和能量最小。

geodesic equation

$\frac{d^2\theta_i}{ds^2}+\sum_{k=1}^{m}\sum_{j=1}^m\Gamma_{kj}^i\frac{d\theta_k}{ds}\frac{d\theta_j}{ds}=0$

$\Gamma_{kj}^i=\frac{1}{2}\sum_{n=1}^mg^{ni}(\frac{\partial g_{kn}}{\partial\theta_j}+\frac{\partial g_{jn}}{\partial\theta_k}-\frac{\partial g_{kj}}{\partial\theta_n})$

$\Gamma^i_{kj}$: 克里斯托费尔（Christoffel）符号,联络系数
$g^{ij}$: $g_{ij}$的逆矩阵元素

测地线

机器人轨迹规划：给出关节空间初始条件，以任务空间的约束，求出最优化轨迹。

first fundamental form
- inner product
- metric
- area
second fundamental form
- curvature

differential geometry

基本约定

tensor

metric

geodesic equation

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